Бұрыш үшбұрыштарын шешу

1 жағдай. A, b, C үш жағы берілген . A, B, C бұрыштарын табыңыз.
Косинус теоремасына сәйкес бұрыштардың бірін табамыз:

екінші бұрышты синус теоремасынан табамыз:

үшінші бұрыш формула бойынша: C = 180° - (A + B ).
Мысал . Үшбұрыштың үш жағы берілген: A = 2, b = 3, C = 4.
Оның бұрыштарын табыңыз.

Шешімі.

2 жағдай. Берілген: А және В екі жағы және олардың арасындағы с бұрышы. С жағын және А және В бұрыштарын табыңыз.

Косинус теоремасына сәйкес біз C жағын табамыз :

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab · cos C ;

содан кейін синус теоремасы бойынша-А бұрышы :

мұнда А – өткір бұрыш, егер b / A > cos C болса және B / A < cos C болса, өткір бұрыш екенін атап өту керек.

3 жағдай.
Екі бұрыш пен жағы көрсетілген. Үшінші бұрышты және басқа екі жағын табыңыз.

Әлбетте, үшінші бұрыш формула бойынша есептеледі: A + B + C = 180°, содан кейін синус теоремасын қолдана отырып, біз
басқа екі жағын табамыз.

4 жағдай.
А және В екі жағы және олардың біреуіне қарама-қарсы в бұрышы берілген. С жағын және А және С бұрыштарын табыңыз.
Алдымен синус теоремасынан а бұрышын табамыз:

Мұнда келесі жағдайлар болуы мүмкін:
1) a > b; a * sin B > B - мұнда шешім жоқ;
2) a > b; a * sin B = b-мұнда бір шешім, A - дұрыс бұрыш;
3) a > b; a * sin B < B < A - мұнда екі шешім бар: A өткір немесе доғал бұрыш болуы мүмкін;
4) A b – мұнда бір шешім, a – өткір бұрыш.
А бұрышын тапқаннан кейін біз үшінші бұрышты табамыз: C = 180° - ( A+ B ). Егер А екі мәнге ие болса, онда С екі мәнге
ие болуы мүмкін. Енді синус теоремасынан сіз үшінші жағын таба аласыз:

Егер с бұрышы екі мәнге ие болса, онда с жағы екі мәнге ие, сондықтан берілген шарттар
екі түрлі үшбұрышқа сәйкес келеді.

Мысал . Берілген: a = 5, b = 3, B = 30°. С жағын және А және С бұрыштарын табыңыз.

Шешімі.

Мұнда: A > B және a sin B < B. (тексеріңіз! ).Содан кейін 3-ке сәйкес екі шешім бар: